Własności Rozkładu Dwumianowego B(n, p)
Rozkład dwumianowy opisuje liczbę sukcesów w ciągu n niezależnych prób Bernoulliego, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi p = 0,5 (dla monety symetrycznej). Kluczowe momenty statystyczne tego rozkładu wyznaczają jego położenie oraz dyspersję:
| Parametr Statystyczny | Wzór Matematyczny | Wartość dla n=10, p=0.5 |
|---|---|---|
| Wartość oczekiwana E(X) | E(X) = n · p | 5,00 |
| Wariancja Var(X) | Var(X) = n · p · (1 − p) | 2,50 |
| Odchylenie standardowe σ | σ = √Var(X) | ≈ 1,581 |
Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a i Krzywa Dzwonowa Gaussa
Dla małych wartości n rozkład dwumianowy ma charakter ściśle dyskretny (słupkowy). Jednak już dla n ≥ 30, zgodnie z lokalnym twierdzeniem granica de Moivre’a-Laplace’a (szczególny przypadek Centralnego Twierdzenia Granicznego), rozkład ten można znakomicie przybliżyć ciągłym rozkładem normalnym N(μ, σ), gdzie średnia μ = n · p, a odchylenie standardowe σ = √(n · p · (1 − p)).
Oznacza to, że przy 100 rzutach monetą prawdopodobieństwo uzyskania liczby orłów mieszczącej się w przedziale [45, 55] (czyli w granicach 1 odchylenia standardowego) wynosi około 68,26%, a w przedziale [40, 60] aż 95,44%. Zjawisko to leży u podstaw kontroli jakości oraz audytów uczciwości systemów losujących w grach kasynowych i algorytmach kryptograficznych.