Baza Wiedzy Egzaminacyjnej CKE

Zadania Maturalne: Prawdopodobieństwo

Zbiór autentycznych zadań z arkuszy maturalnych CKE wraz z pełnymi, rygorystycznymi rozwiązaniami krok po kroku.

Liczba Monet:

Suma Orłów 0 0%

Suma Reszek 0 0%

Przestrzeń (Ω) 2³ = 8 Kombinacji

Wyrzucona Sekwencja:

Naciśnij przycisk, aby rzucić monetami

Zadania ze stochastyki na egzaminach Centralnej Komisji Egzaminacyjnej (CKE) co roku sprawiają abiturientom spore trudności. Poniżej przygotowaliśmy zestaw reprezentatywnych zadań z oficjalnych arkuszy maturalnych z omówieniem punkt po punkcie.

Zadanie 1 (Matura Podstawowa — 2 pkt) CKE Formuła 2023

Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że orzeł wypadnie co najwyżej jeden raz.

Rozwiązanie krok po kroku:

Krok 1: Określenie mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω.
Każdy rzut daje 2 możliwości, więc |Ω| = 2³ = 8.

Krok 2: Określenie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A.
Warunek „co najwyżej jeden raz” oznacza: dokładnie 0 orłów LUB dokładnie 1 orzeł.
• 0 orłów (same reszki): (R, R, R) — 1 element.
• 1 orzeł: (O, R, R), (R, O, R), (R, R, O) — 3 elementy.
Razem moc zbioru zdarzeń sprzyjających wynosi |A| = 1 + 3 = 4.

Krok 3: Obliczenie prawdopodobieństwa klasycznego.
P(A) = |A| / |Ω| = 4 / 8 = 1 / 2 = 0,5.

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi dokładnie 1/2 (50%).

Zadanie 2 (Matura Rozszerzona, 4 pkt) Metoda Symetrii Stochastycznej

Rzucamy siedmiokrotnie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczba wyrzuconych orłów będzie większa niż liczba wyrzuconych reszek.

Rozwiązanie elegancką metodą symetrii:

Liczba rzutów n = 7 jest liczbą nieparzystą, co oznacza, że w żadnym losowaniu nie może dojść do remisu (liczba orłów nigdy nie zrówna się z liczbą reszek).

Z doskonałej symetrii monety wynika równość prawdopodobieństw:

P(orłów > reszek) = P(reszek > orłów).

Ponieważ te dwa zdarzenia wyczerpują całą przestrzeń zdarzeń elementarnych i wykluczają się nawzajem:

P(orłów > reszek) + P(reszek > orłów) = 1 ⇒ 2 · P(A) = 1 ⇒ P(A) = 1/2.

Odpowiedź: Szukane prawdopodobieństwo wynosi dokładnie 1/2.

Zadanie 3 (Schemat Bernoulliego, 3 pkt) Kombinatoryka CKE

Rzucamy 5 razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie 3 orłów, stosując symbol Newtona.

Wzór na k sukcesów w n próbach:

P_n(k) = (n po k) · p^k · (1−p)^n−k

Dla n = 5, k = 3, p = 1/2:

(5 po 3) = 5! / (3! · 2!) = (5 · 4) / 2 = 10.

P₅(3) = 10 · (1/2)³ · (1/2)² = 10 · (1/32) = 10/32 = 5/16 ≈ 0,3125.

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi 5/16 (31,25%).

Źródła Naukowe, Statystyczne i Regulaminowe

Jakie zadania z prawdopodobieństwa najczęściej pojawiają się na maturze podstawowej?

Na poziomie podstawowym CKE najczęściej bada znajomość klasycznej definicji prawdopodobieństwa Laplace'a (P = |A| / |Ω|), reguły mnożenia i dodawania w doświadczeniach dwuetapowych (rzut dwiema kostkami, monetą i kostką, losowanie kul z urny) oraz umiejętność posługiwania się drzewem stochastycznym.

Czy schemat Bernoulliego obowiązuje na maturze podstawowej?

Nie. Schemat prób Bernoulliego i wzór dwumianowy obowiązują wyłącznie w formule matury rozszerzonej z matematyki.

Ekosystem Losowości & Decyzji

Co chcesz wylosować lub obliczyć dalej?

Przejdź do wyspecjalizowanych narzędzi stochastycznych, generatorów i symulatorów o zerowym opóźnieniu.

🪙🪙 Symulator 2-10

Rzut Wieloma Monetami

Rzucaj od 2 do 10 monet jednocześnie z natychmiastowym podsumowaniem orłów i reszek.

Uruchom narzędzie

🎡 Koło Wyboru

Koło Fortuny Online

Interaktywne kolorowe koło z własnymi opcjami do losowania nagród i decyzji zespołowych.

Uruchom narzędzie

🎲 Kości K4-K100

Rzut Kostką do Gry (K6 / K20)

Wirtualna trójwymiarowa kostka do gier planszowych, RPG (D&D) i rozstrzygania remisów.

Uruchom narzędzie

🔢 RNG Web Crypto

Generator Liczb Losowych

Kryptograficzne losowanie liczb w dowolnym zakresie od 1-10, 1-100 lub parametrach własnych.

Uruchom narzędzie

⚖️ Psychologia Wyboru

Dylemat Decyzyjny (Tak / Nie)

Przypisz dwie opcje pod Orła i Reszkę, aby przerwać paraliż analityczny w 3 sekundy.

Uruchom narzędzie

⚽ Protokół PZPN / FIFA

Rzut Monetą w Piłce Nożnej

Reguła IFAB Artykuł 8 i 10. Poznaj protokół sędziowski FIFA i historyczny mecz Górnik - Roma 1970.

Uruchom narzędzie

🧮 Precyzja IEEE 754

Kalkulator Procentowy Online

Błyskawiczne obliczanie ułamków, udziałów procentowych i zmian relatywnych bez reklam.

Uruchom narzędzie