Rzut Dwiema Kostkami: Prawdopodobieństwo
Interaktywna macierz 36 zdarzeń elementarnych, symulator rzutu 2k6 oraz kompletna tabela sum i iloczynów oczek.
Prezentowany aparat matematyczny bazuje na klasycznej aksjomatyce Kołmogorowa i definicji Laplace'a dla symetrycznych brył foremnych.
Model Stochastyczny: Dwuetapowy Rzut Kośćmi i Rozkład Trójkątny
Rzut dwiema sześciennymi kostkami do gry to sztandarowy model doświadczenia dwuetapowego w polskim programie nauczania matematyki. W odróżnieniu od pojedynczego rzutu monetą na stronie rzut monetą czy pojedynczej kości K6, gdzie każdy wynik ma tę samą szansę, suma oczek z dwóch kostek tworzy dyskretny rozkład trójkątny. Wartości skrajne (2 i 12) padają zaledwie w 2,78% przypadków, podczas gdy centralna siódemka osiąga aż 16,67% częstości.
🎲 Przestrzeń Zdarzeń Elementarnych |Ω| = 36
Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω składa się ze wszystkich uporządkowanych par liczb (k₁, k₂), gdzie k₁, k₂ ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}:
Kluczową zasadą oceniania na maturze CKE jest traktowanie kostek jako rozróżnialnych. Wyniki (3, 5) i (5, 3) stanowią dwa odrębne zdarzenia elementarne. Utożsamianie ich prowadzi do błędnego przyjęcia |Ω| = 21 i utraty punktów.
Tabela Prawdopodobieństwa Sum Oczek (2 do 12)
Poniższa tabela przedstawia kompletny rozkład stochastyczny sumy oczek dla dwóch standardowych kości K6:
| Suma S | Zdarzenia sprzyjające | Liczba par |A| | Ułamek | Prawdopodobieństwo % |
|---|---|---|---|---|
| 2 | (1,1) | 1 | 1/36 | 2,78% |
| 3 | (1,2), (2,1) | 2 | 2/36 = 1/18 | 5,56% |
| 4 | (1,3), (2,2), (3,1) | 3 | 3/36 = 1/12 | 8,33% |
| 5 | (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) | 4 | 4/36 = 1/9 | 11,11% |
| 6 | (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) | 5 | 5/36 | 13,89% |
| 7 (Max) | (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) | 6 | 6/36 = 1/6 | 16,67% |
| 8 | (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) | 5 | 5/36 | 13,89% |
| 9 | (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) | 4 | 4/36 = 1/9 | 11,11% |
| 10 | (4,6), (5,5), (6,4) | 3 | 3/36 = 1/12 | 8,33% |
| 11 | (5,6), (6,5) | 2 | 2/36 = 1/18 | 5,56% |
| 12 | (6,6) | 1 | 1/36 | 2,78% |
Rozwiązane Zadania Maturalne CKE (Krok po Kroku)
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą podzielną przez 5.
• Piątka na pierwszej kości: (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) → 6 zdarzeń.
• Piątka na drugiej kości (bez powtórzonego (5,5)): (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5) → 5 zdarzeń.
Zatem moc zbioru zdarzeń sprzyjających: |A| = 6 + 5 = 11.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia B, że wartość bezwzględna różnicy wyrzuconych oczek |k₁ - k₂| jest równa dokładnie 2.
Często Zadawane Pytania (FAQ)
Dlaczego przy rzucie dwiema kostkami jest 36 możliwości, a nie 21?
Zgodnie z regułą mnożenia kombinatoryki, wynik rzutu dwiema kośćmi to para uporządkowana (k1, k2), gdzie każda kość przyjmuje 6 stanów. Wynik (2, 5) to fizycznie inne zdarzenie niż (5, 2) — na przykład gdy jedna kość jest biała, a druga czerwona. Dlatego przestrzeń zdarzeń wynosi |Ω| = 6 × 6 = 36.
Jaka jest najbardziej prawdopodobna suma oczek przy rzucie dwiema kostkami?
Najbardziej prawdopodobną sumą jest dokładnie 7. Można ją uzyskać na 6 różnych sposobów: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Prawdopodobieństwo wyrzucenia siódemki wynosi P = 6/36 = 1/6 ≈ 16,67%.
Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dubletu (dwóch takich samych oczek)?
Dublet tworzy 6 par: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Prawdopodobieństwo wynosi P(A) = 6/36 = 1/6 ≈ 16,67%.
Jak obliczyć prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek wynosi co najmniej 10?
Warunek 'co najmniej 10' oznacza sumę równą 10, 11 lub 12. Sprzyjające zdarzenia to: (4,6), (5,5), (6,4) dla sumy 10 (3 zdarzenia), (5,6), (6,5) dla sumy 11 (2 zdarzenia) oraz (6,6) dla sumy 12 (1 zdarzenie). Łącznie |A| = 6, więc P(A) = 6/36 = 1/6 ≈ 16,67%.
Co chcesz wylosować lub obliczyć dalej?
Przejdź do wyspecjalizowanych narzędzi stochastycznych, generatorów i symulatorów o zerowym opóźnieniu.
Rzut Wieloma Monetami
Rzucaj od 2 do 10 monet jednocześnie z natychmiastowym podsumowaniem orłów i reszek.
Koło Fortuny Online
Interaktywne kolorowe koło z własnymi opcjami do losowania nagród i decyzji zespołowych.
Rzut Kostką do Gry (K6 / K20)
Wirtualna trójwymiarowa kostka do gier planszowych, RPG (D&D) i rozstrzygania remisów.
Kalkulator Prawdopodobieństwa
Eksperymenty Bernoulliego, rozkład dwumianowy i symulacja Monte Carlo do 10 000 prób.
Generator Liczb Losowych
Kryptograficzne losowanie liczb w dowolnym zakresie od 1-10, 1-100 lub parametrach własnych.
Dylemat Decyzyjny (Tak / Nie)
Przypisz dwie opcje pod Orła i Reszkę, aby przerwać paraliż analityczny w 3 sekundy.
Rzut Monetą w Piłce Nożnej
Reguła IFAB Artykuł 8 i 10. Poznaj protokół sędziowski FIFA i historyczny mecz Górnik - Roma 1970.
Kalkulator Procentowy Online
Błyskawiczne obliczanie ułamków, udziałów procentowych i zmian relatywnych bez reklam.